domingo, 22 de julio de 2007

Vectores

VECTORES

Vector fijo : es un segmento cuyos extremos se dan en cierto orden . Se simbolizan de la siguiente forma : .

Características de un vector fijo :
1º Módulo : es la longitud del segmento . Se simboliza por / /
2º Dirección : es la determinada por la recta que pasa por A y B , se indicar mediante al ángulo que forma con una semirecta conocida , normalmente el eje OX+ .
3º Sentido : es el del origen A al extremo B , es decir no es lo mismo , ya que tienen mismo módulo y dirección , pero distinto sentido .

Componentes de un vector :
Si A(x1 , x2) y B(y1 , y2) entonces las componentes del vector serán los números reales y1 - x1 e y2 - x2 , y se escribe = (y1 - x1 , y2 - x2) .
No se debe confundir las ''coordenadas de un punto'' , con las ''componentes de un vector'' .

Calculo de las componentes de un vector :



r De la figura se deduce que :
b a = r cos
 b = r sen
Dividiendo :
a tg = b/a
Por Pitágoras :
r2 = a2 + b2

Ejemplo : Si A(3 , 1) y B(-2 , 4) calcular : ( Hacer un dibujo para aclararse )
a) Componentes de = (-5 , 3)
b) Módulo de = =
c) Dirección : tg = 3/-5   = arctg 3/-5 = -31º ó 149º ya que tg = tg(180 + )
Es decir la dirección es la de la recta que forma -31º ó 149º con el eje OX+
d) Sentido : puesto que (-5 , 3) pertenece al segundo cuadrante elegimos 149º .

Ejemplo : Si un vector tiene 4 cm de módulo y forma un ángulo de 30º con el eje OX+ calcular sus componentes :
a = 4 • cos 30º = 4•
b = 4 • sen 30º = 4 • 1/2 = 2
Nota :con los datos del problema no se puede calcular las coordenadas del origen y extremo .

Ejercicio : El origen de un vector fijo es el punto A(-1 , 2) , su módulo es de 3 cm y el ángulo que forma con el eje OX+ es 5/3 . Calcular las componentes del vector y las coordenadas del extremo B .

Vectores equipolentes :
Dos vectores fijos se dicen equipolentes si tienen el mismo módulo , dirección y sentido , o dicho de otra forma , dos vectores son equipolentes cuando tienen las mismas componentes .



Vector libre :
Se llama vector libre a cada vector fijo junto con todos sus equipolentes .





Así pues la frase : '' el vector libre (3 , 4)'' significa lo mismo que ''el conjunto de vectores fijos de componentes (3 , 4)''
Un ''representante'' de un vector libre es uno cualquiera de los vectores fijos que lo forman .
Un vector libre representado por el vector fijo se simboliza por { } o por una letra minúscula o en negrita : ó a . Siguiendo esta notación , el módulo de un vector libre se suele representar por /{ }/ , / / ó a .

Ejercicio : Calcular el módulo del vector libre =(2 , 1) . Si es un representante de , calcular el ángulo que forma con el eje OX+ .

Ejercicio : Averiguar si los vectores libres (3 , 4) y (-6 , -8) tienen el módulo dirección y sentido .

Suma de vectores libres :
1º Gráficamente : para sumar los vectores libres se procede de la siguiente forma :
partiendo de un punto A cualquiera del plano se traza un representante del vector , y con origen en B , se traza un representante del vector libre . El vector libre cuyo representante va del origen del primero al extremo del segundo , es el vector suma . Esta forma de definir el vector suma se llama regla del paralelogramo .

2º Analíticamente : si = (x1 , x2) y = (y1 , y2) se llama suma + al vector libre de componentes = (x1 + y1 , x2 + y2)











Cuestión : Si un vector libre tiene módulo 3 y otro módulo 4 , que puedes decir del módulo de .
Solución : pues que el módulo está comprendido entre 1 y 7 .

Producto de un número real por un vector libre

1º Gráficamente : Si multiplicamos un vector por un número real lo que obtenemos es otro vector de la misma dirección , y del mismo sentido ( en el caso de que sea positivo ) . El módulo se obtendrá de multiplicar el valor absoluto del número real , por el módulo del vector .
2º Analíticamente : si = (x1 , x2) se llama producto del número real k por el vector , al vector b = k• = (kx1 , kx2)











Aplicaciones :
1º Calcular las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en dos o tres partes iguales .

Ejercicio : Calcular las coordenadas del punto medio entre A(1 , 2) y B(3 , 8) .

2º Calcular el simétrico de un punto respecto de otro .

Ejercicio : Calcular el simétrico del punto (6 , -2) respecto del punto (-8 , 4)
Producto escalar de dos vectores libres
El procucto escalar de dos vectores a y b es un número que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo menor que forman , es decir :
a • b = /a/ • /b/ • cos 
Interpretación geométrica :
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él .


b

b • cos  a

a • b = /a/ • Proyab (proyección de b sobre a )
Consecuencias :
• si a = b entonces a • a = /a/ • /a/ • cos 0 = /a/2  /a/ = Importante
• si los vectores son paralelos y con el mismo sentido : a • b = /a/ • /b/ • cos 0 = /a/ • /b/
• si los vectores son paralelos y pero con distinto sentido : a • b = /a/ • /b/ • cos 180 = -/a/ • /b/
• si los vectores son perpendiculares se dice que son vectores ortogonales , si los vectores son de módulo unidad se les llama vectores unitarios o normales , y si se cumplen las dos cosas a la vez se les llama vectores ortonormales :
perpendiculares  a • b = /a/ • /b/ • cos 90 = 0
También se puede ver al revés , es decir , cuando el producto escalar de dos vectores es cero , entonces , o los vectores son nulos , o son perpendiculares .
• Se puede calcular a partir de un vector a , otro vector u que tenga la misma dirección , el mismo sentido , y sea unitario : u = se puede ver facilmente que tiene la misma dirección y sentido que a y es unitario porque
/u/ =

Ejercicio : Calcular el producto escalar de los vectores a = ( 3 , 1) y b = ( 2 , 2)
Ejercicio : Calcular un vector unitario que tenga la dirección y sentido de (4 , 5)

Combinación lineal de dos o más vectores
Se llama combinación lineal de los vectores a , b , c ...... a cada uno de los vectores de la forma u = a1 a + a2b + ...........Por ejemplo : (4 , -1) = 2(1 , 1) + 1(2 , -3) en este caso diremos que (4 , -1) es combinación lineal de (1 , 1) y (2 , -3) . Hacer un

Vectores linealmente dependientes e independientes
Se dice que un conjunto de vectores son linealmente dependientes cuandocada uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes . En caso contrario se dice que son independientes . La forma de comprobarlo es igualar al vector cero una combinación lineal de todos ellos , si no todos los coeficientes son nulos entonces son dependientes , en caso contrario son independientes .
Sistema de generadores
Un conjunto de vectores se dice que es un sistema generador si y solo si todo vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos .
Por ejemplo el vector (1 , 0) y (0 , 1) son sistema de generadores de R2 ya que cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de ellos :
(-8 , 3) = -8(1 , 0) + 3(0 , 1) Hacer un dibujo para que se comprenda .
Para demostrar que son generadores se iguala una combinación lineal de ellos a un vector (a , b) , si al resolver el sistema podemos poner cualquier valor de a y b , entonces es que son sistema de generadores ya que generan cualquier vector .

Base
Un conjunto de vectores se dice que forman una base cuando son :
- sistema de generadores
- linealmente independientes

Coordenadas de un vector respecto de una base
Sea B = {u1 , u2} una base , si se verifica la igualdad : x = x1u1 + x2u2 entonces a los coeficientes x1 y x2 se les llama coordenadas de x respecto de la base B y componentes de x a x1u1 , x2u2 .

Ejercicio : Comprobar que (-1 , 1) y (2 , -1) forman una base . Calcular las coordenadas de (1 , 2) respecto de esta base . Hacer un dibujo para que se comprenda .

Tipos importantes de bases
- Se dice que una base es normada cuando los vectores que la forman son unitarios , es decir de módulo unidad /u1/ = /u2/ =1.
- Se dice que una base es ortogonal cuando los vectores son ortogonales o perpendiculares entre sí , por lo tanto u1 • u2 = 0
- Se dice que una base es ortonormal cuando es normada y ortogonal a la vez .

Cambio de base
El problema que vamos a resolver se enuncia así :
Conociendo las coordenadas (x1 , x2) del vector u en la base B = {u1 , u2} hallar las coordenadas (x1' , x2') de u en la base B' = {u1' , u2'}
Para resolverlo se precisa conocer la expresión de los vectores de la primera base en función de los de la segunda base o viceversa :
u1 = a11u1' + a12u2'
u2 = a21u1' + a22u2'
Entonces :
u = x1u1+x2u2 = x1(a11u1' + a12u2') + x2(a21u1' + a22u2') = (x1a11+x2a21)u1' +(x1a12+x2a22)u2'
Pero por otro lado :
u = x'1u1'+x'2u2'
Comparando las dos igualdades :
x1' = x1a11 + x2a21
x2' = x1a12 + x2a22
que son las fórmulas del cambio de base .

Ejercicio : Se sabe que el vector u en la base B tiene por coordenadas (3 , 1) , es decir
u = 3u1 + 1u2 . Hallar las coordenadas de u respecto de la base B' sabiendo que :
u1 = 2u1' + u2'
u2 = u1' - 4u2'
Hacer un dibujo del problema . Poner en los ejes la base B'.

Expresión analítica del producto escalar
Sea B = {u1 , u2} una base , y u y v dos vectores cualesquiera que se pueden expresar como combinación lineal de los vectores de la base .
u = x1u1 + x2u2
v = y1u1 + y2u2
Por lo tanto tendremos que :
u • v = ( x1u1 + x2u2 ) • ( y1u1 + y2u2 ) = x1x2/u1/2 + y1y2/u2/2 + (x1y2 + x2y1)u1u2
Si la base es normada :
u • v = x1x2+ y1y2 + (x1y2 + x2y1)u1u2
Si la base es ortogonal :
u • v = x1x2/u1/2 + y1y2/u2/2
Si la base es ortonormal : ( Caso más importante y más sencillo )
u • v = x1x2 + y1y2

Ejercicio : Calcular u • v , siendo u = 2u1 -3u2 = ( 2 , -3 ) y v = u1 + u2 = (1 , 1) en los siguientes casos :
a) u1 , u2 son dos vectores de módulo 2 y 3 respectivamente y forman 30º
b) u1 , u2 son dos vectores unitarios que forman 45º
c) u1 , u2 son dos vectores ortogonales , de módulos 3 y 4 respectivamente
d) u1 , u2 son dos vectores ortonormales .

Expresión analítica del módulo de un vector
Ya vimos anteriormente que el módulo de un vector era :
u•u = /u/•/u/cos 0 = /u/2  /u/ = por lo tanto :
/u/ ={ ( x1u1 + x2u2 ) • ( x1u1 + x2u2 ) }1/2 = { x12/u1/2 + x22/u2/2 + 2x1x2u1u2 }1/2
En el caso de que sea una base normada :
/u/ = { x12 + x22+ 2x1x2u1u2 }1/2
Base ortogonal :
/u/ = { x12/u1/2 + x22/u2/2 }1/2
Base ortonormal:
/u/ = { x12+ x22 }1/2

Expresión cartesiana del coseno del ángulo que forman dos vectores
cos(u , v) =
Suponiendo el caso más sencillo , que es el de una base ortonormal , tendremos :

En el caso de que v sea un vector de la base ortonormal , el cos se llama coseno director y es el coseno del ángulo que forma el vector u con el vector de la base v .
Ejercicio : Calcular el ángulo que forman entre sí , los vectores : u(2 , 1) y v(-1 , 3) sabiendo que estas coordenadas están expresadas respecto de una base ortonormal B = {u1 , u2}, es decir :
u = 2u1 + 1u2
v = -1u1 + 3u2

cos  = luego  = 81'8º
Hacer un dibujo suponiendo que la base ortonormal es la canónica .

Ejercicios :
1º Sea B = {u1 , u2} una base tal que /u1/ = /u2/ = 2 y forman 60º . Calcular :
a) Módulo del vector u = 2u1 + 3u2 .
b) Producto escalar de los vectores u = 2u1 - u2 y v = -4u1 + 3u2
c) Valor de k para que los vectores u = 11u1 + ku2 y v = u1 + 2u2 sean ortogonales .
d) cos (u ,v) siendo u = 2u1 - u2 y v = -u1 + u2

2º Responder a las preguntas anteriores pero suponiendo que sea B = {u1 , u2} una base ortonormal .

Sistema de referencia
Un sistema de referencia en el plano está formado por un punto O que se llama origen del sistema , y por dos vectores que constituyen la base del sistema .

Cambio de sistema de referencia
Vamos a plantear el siguiente problema : consideremos dos sistemas de referencia en el plano S = (O;u1 , u2 ) y S' = (O';u1' , u2' ) .Se sabe que el punto P tiene de coordenadas (x1 , x2) respecto de S . Calcular las coordenadas de P respecto de S' .
P


O'

O

La relación entre B y B' es :
u1 = a11u1' + a12u2'
u2 = a21u1' + a22u2'
Las coordenadas de O respecto de O' son (a , b)
Fijandonos en el dibujo :
O'P = O'O + OP
Por lo tanto :
x'1u1'+x'2u2' = au1' + bu2' + x1u1 + x2u2 = au1' + bu2' + x1(a11u1' + a12u2') + x2(a21u1' + a22u2') = (a + x1a11 + x2a21)u1' + (b + x1a12 + x2a22)u2' .
Comparando el principio con el final :
x1' = a + x1a11 + x2a21
x2' = b + x1a12 + x2a22
Ejercicio : Se conocen las coordenadas (-1 , 3) de un punto P respecto del sistema de referencia S . Se sabe además que O' tiene de coordenadas (2 , 4) respecto de O . También se sabe que :
u1' = -2u2
u2' = -u1 + u2
Calcular las coordenadas de P respecto de S' .
Hacer un dibujo .

Cambio de sistema de referencia ortonormales
En el caso de que las bases sean ortonormales , podemos calcular las coordenadas de u1 y u2 en función del ángulo que forman con los vectores u1' y u2' .
u1 = a11u1' + a12u2'
u2 = a21u1' + a22u2'

u2
u1'
u2'

u1
u1 = cos u1' - sen u2'
u2 = sen u1' + cos u2'
Luego tenemos :
x1' = a + x1cos + x2sen
x2' = b - x1sen + x2cos

En el caso de que haya una traslación de ejes , las bases siguen siendo las mismas , solo cambia el origen , haciendo  = 0 :
x1' = a + x1
x2' = b + x2
En el caso de que haya una rotación de ejes , los origenes coinciden y (a , b) = (0 , 0) por lo que :
x1' = x1cos + x2sen
x2' = - x1sen + x2cos

Ejercicio : Calcular las coordenadas de P respecto de S' = (O';u1' , u2' ) sabiendo que respecto de S = (O;u1 , u2 ) son (3 , 4) y que S' está girado 45º respecto de S . Se supone que los sistemas son ortonormales .










PROPIEDADES MÉTRICAS DEL PLANO

Ecuaciones de la recta



d

a x



Como se puede comprobar en el dibujo :

x = a + td siendo tR Ec vectorial de la recta

Puesto que estamos utilizando un sistema de referencia S = (O;u1 , u2 ) entonces tendremos :
(x , y) = (x0 , y0) + t(d1 , d2)  x = x0 + td1 Ec paramétricas de la recta
y = y0 + td2

Despejando t e igualando :

Ec continua de la recta

Nota : en el caso de que d1 o d2 sean 0 entonces significa que los vectores directores son paralelos a los ejes y por tanto , si d1 = 0 entonces x = x0 = cte recta paralela al eje y que pasa por x = 3 , y analogamente para d2 = 0 .
Si pasamos todo al mismo miembro :

d2x - d1y -x0d2+y0d1 = 0  Ax + By + C = 0 Ec general de la recta
siendo A = d2 y B = -d1
Se puede observar que A y B no son más que las componentes de un vector perpendicular al vector director ya que (d1 , d2 )•(A , B) = (d1 , d2 )•(d2 , -d1) = 0
Si en la ec general despejamos C y dividimos por -C obtenemos :

 Ec canónica o segmentaria de la recta
en este caso a y b son los puntos de corte con los ejes .
Si en la ec continua pasamos los denominadores a un miembro y los numeradores a otro obtenemos :
Ec en la forma punto pendiente

Si despejamos la y en esta ecuación :

y = mx -x0m +y0  y = mx + n Ec explícita de la recta

En esta ecuación la m nos da la inclinación de la recta y n nos da la ordenada en el origen o punto de corte con el eje y .

Ejercicio : Calcular las todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(2 , 3) y (-1 , 1) .

Posición relativa de dos rectas en el plano
Puede ocurrir 3 casos :
a) Que sean paralelas :
- Los vectores directores son dependientes o paralelos o proporcionales , pero ningun punto pertenece a las dos rectas a la vez .
- Tienen la misma pendiente m pero distinto n
- La relación entre los coeficientes de la ec general es A/A'=B/B'C/C'
b) Que sean coincidentes :
- Los vectores directores son paralelos y los puntos pertenecen a las dos rectas a la vez .
- Tienen la misma pendiente y n
- La relación entre los coeficientes de la ec general es A/A'=B/B'=C/C'
c) Se corten :
- Los vectores directores no son paralelos
- Distinta m
- La relación entre los coeficientes de la ec general es A/A'B/B'
Un caso particular de rectas que se cortan es el de rectas perpendiculares , veamos cuales son las condiciones para que dos rectas sean perpendiculares :
Si la recta r tiene de vector director (d1 , d2) una recta perpendicular a ella tendrá de vector director (-d2 , d1) como ya vimos por lo que obtendremos :

recta r recta paralela a r recta perpendicular a r
Ax + By + C = 0 Ax + By + C' = 0 -Bx + Ay + C = 0
y = mx + n y = mx + n' y = (-1/m)x + n'
(x , y)= (x0 , y0) + t(d1 , d2) (x , y) = (x'0 , y'0) + t(d1 , d2) (x , y) = (x'0 , y'0) + t(-d2 , d1)

Ejercicio : Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3 , -2) y es perpendicular a la recta r  5x - 3y + 2 = 0 .
Calcular tambien una recta paralela a r y que pase por A .

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos A y B es simplemente el módulo del vector que va desde A hasta B o al revés . Por lo tanto :
d(A,B) =

Distancia entre un punto y una recta
Para calcular la distancia mínima (perpenduicular ) de un punto P a una recta r podriamos seguir los siguientes pasos :
- calcular una recta r' perpendicular a r que pase por P
- calcular el punto de intersección Q entre r y r'
- calcular la distancia entre P y Q

Para simplificar las operaciones se utiliza la siguiente fórmula :
r'
• P(x0,y0)

u r Ax + By +C = 0
D • (d1,d2)
Q • (x1,y1)



PD • u = PD • 1 • cos = PQ = d(P,Q)
Por otro lado :
PD • u = (d1 - x0 , d2 - y0)•( ) =
Puesto que D pertenece a r :
PD • u = = d(P,Q)
Puesto que la distancia debe de ser positiva tomaremos el valor absoluto :

d(P,r) =/ /

Ejercicio : Calcular la distancia del punto P (2 , -3) a la recta r  y = 4x -10

Distancia entre dos rectas
Para calcular la distancia entre dos rectas debemos de comprobar si son paralelas , después debemos de obtener un punto una de ellas y por último calcular la distancia de este punto a la otra recta .

Ejercicio : Calcular la distancia entre las rectas r  2x + 5y -8 = 0 y r'  -4x -15y +10 = 0

Ángulo entre dos rectas
Se llama ángulo entre dos rectas secantes al menor de los ángulos que determinan dichas rectas , o lo que es lo mismo , al menor de los ángulos que forman sus vectores directores , o lo que es lo mismo , al menor de los ángulos que forman sus vectores perpendiculares .

n u'
n'
r
u

cos (r , r') = cos (u , u') = cos (n , n') =

Ejercicio : Calcular el ángulo que forman las rectas :
r  y r' 

Ecuación de las bisectrices de los ángulos que determinan dos rectas
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirecta que tiene por origen al vértice del ángulo y divide a éste en dos partes iguales . Todos los puntos que pertenecen a la bisectriz poseen la propiedad de equidistar de los lados del ángulo .
b2 r



P(x,y) • b1


r'
Por ser P un punto de la bisectriz , la distancia de P a las rectas r y r' debe de coincidir por lo que :

/ / = / /

Quitando los valores absolutos , obtendremos dos soluciones que son las ecuaciones de las dos bisectrices :
b1  =
b2  = -
Estas ecuaciones se pueden poner en forma general multiplicando en cruz .

Ejercicio : Calcular la ecuación de las bisectrices de los ángulos que determinan las rectas r  3x - 4y +5 = 0 y r'  6x + 8y +1 = 0 .

Área de un triángulo

B'
/AB/ = /AB'/

C h = /AC/ sen 

h

A B
Área = 1/2 • /AB/ • h = 1/2 • /AB'/ • /AC/ sen  = 1/2 • /AB'/ • /AC/ cos  =
= 1/2 • /AB' • AC/ donde se toma valor absoluto para que no salga un área negativa .

Ejercicio : Calcular el área del triángulo de vertices A(1 , 2) B(-1 , 4) y C(2 , 0) .